写在前面
本文是写在做完GAMES202 高质量实时渲染作业2之后的总结。通过不严谨的数学公式，从球谐的旋转不变性出发，一步步推导出如何求旋转后的系数${c_l^m}^{\prime}$。
非常感谢闫老师和助教们的课程和代码框架！！！
效果展示：
(注：环境光为Cornell Box)
问题描述
定义在球面上的环境光 $L_i(\omega_i)$可以被展开成球谐基函数的线性组合：
假设现在有一个旋转矩阵 $R^{-1}$，现在有一个旋转矩阵，将环境光 $L_i(\omega_i)$进行了旋转，得到了 $L_i(R\omega_i)$。
注：将$y = x^2$向x轴正半轴方向移动了a个单位后，变为了$y = (x-a)^2$，而不是$y = (x+a)^2$，旋转也是这个道理。
问题来了，如何求得 $L_i(R\omega_i)$ 的球谐系数${c_l^m}^{\prime}$？
最简单的想法，重新计算 $L_i(R\omega_i)$ 对每个球谐基函数的投影：
假如环境光源在每一帧都在旋转，那么每一帧渲染之前，都要进行这么一个积分，这是无法接受的。
回顾之前的内容，该积分使用的是黎曼和的形式求解，复杂度很高。
是否有更简单的方法计算${c_l^m}^{\prime}$ 呢？
比如，是否存在某个方法，可以直接从${c_l^m}$得到${c_l^m}^{\prime}$呢？
这就是本文探讨的话题。
什么是旋转不变性
对于某个球谐基函数$B_l^m(\omega_i)$，假设现在有一个旋转矩阵 $R^{-1}$ 将$B_l^m(\omega_i)$进行了旋转，
注：旋转应该是指，按照空间中过原点的某一个轴旋转了某个角度，由于环境光是无限远的，所以转轴虽然在空间中任意位置，但可以视作在原点。
那么旋转后的函数的表达式为$B_l^m(R^{}\omega_i)$。
旋转不变性指的是，$B_l^m(R\omega_i)$可以被拆分成同阶（band）的其他基函数的线性组合，而与其他阶的基函数无关，即：
从旋转不变性出发，开始推导
根据球谐展开的概念，对环境光 $L_i(\omega_i)$，我们有：
在这篇文章里，我们关注 $l = 1$的情况，忽略其他阶，则上式可以写成：
在继续进行之前，要先达成一个共识（我不确定这是否需要证明）：
考虑这么一件事情：如果将 $L_i(R\omega_i)$在 $B_l^m(R\omega_i)$上进行分解，所得到的球谐系数是多少呢？
由于我们将光源和球谐基函数同时用 $R$ 进行了旋转，那么它们之间的相对关系应该是不会发生变化的，也就是球谐系数仍然是 $c_l^m$：
有了这个共识，我们就可以直接获得 $L_i(R\omega_i)$在 $B_l^m(R\omega_i)$上进行分解的球谐系数，就是${c_l^m}$（同样只关注 第1阶）：
有了公式（2）后，借助球谐函数的旋转不变性（式1），我们可以将$B_l^m(R\omega_i)$ 表示为同band其他基函数的线性组合：
假设 $x_k,y_k, z_k$全部已知，那将上面的式子代入式（2），有：
进行一下合并同类项：
令 ${c_1^{-1}}^{\prime} = (c_1^{-1}x_{-1} + c_1^{0}y_{-1} + c_1^{1}z_{-1})$
${c_1^{0}}^{\prime} = (c_1^{-1}x_{0} + c_1^{0}y_{0} + c_1^{1}z_{0})$
${c_1^{1}}^{\prime} = (c_1^{-1}x_{1} + c_1^{0}y_{1} + c_1^{1}z_{1})$
则上式被重写成：
这样，我们就得到了旋转之后，各个球谐基函数的系数${c_l^m}^{\prime}$了。
下一节定义了 $M_R$, 利用 $M_R$可以将 ${c_1^{-1}}^{\prime},{c_1^{0}}^{\prime},{c_1^{1}}^{\prime} $用矩阵乘法表示：
求解
之前，我们假设 $x_k,y_k, z_k$全部已知，但是它们其实是未知的，接下来我们来求解它们。
以式（3）为例，在这里，我们要求的是 $x_{-1}, x_0, x_1$，如何求解呢？
其实很简单，3个未知数，需要3个方程，我们只需要随便找3个 $n_0, n_1, n_2$代入，得到三元一次方程组。因为 $B_l^m(R\omega_i)$是已知的函数，所以上述方程组可以很简单的解出来：
同样的，对于 $y_k$ 和 $z_k$，也带入 $n_0, n_1, n_2$，可以解出$y_k$ 和 $z_k$。（求解$y_k$ 和 $z_k$ 时，选取的 $n_0, n_1, n_2$不一定要是一样的，但是选一样的接下来比较方便）。
式（5）就是求解 $x_k,y_k, z_k$ 的核心。本节剩下的内容就是对其进行向量化，变成矩阵运算的形式，这样一来我们可以少写一些循环语句，二来运算也会快一些。
为了求解 $x_k,y_k, z_k$，我们用到了3个三元一次方程组，每个方程组3个方程，这9个方程可以被写成更简洁的矩阵形式（前提是，三个方程组所用的$n_0, n_1, n_2$是一致的）：
为了表述方便，这里定义了 $P(\omega_i)$ （有的地方也称之为对$\omega_i$的投影）和$M_R$：
利用新定义的符号，可以继续写成更简洁的形式：
再记 $S = [P(Rn_0) \quad P(Rn_1) \quad P(Rn_2)] $ ， $A = [P(n_0) \quad P(n_1) \quad P(n_2) ]$ ：
注：这里 $S, M_R, A$ 都是3x3的方阵。如果我们在处理2阶球谐函数的时候， $S M_R A$ 都变为了5x5的方阵，3阶则7x7，以此类推。
至此， $M_R$ （即$x_k,y_k, z_k$的矩阵形式）的解变得更加一目了然了：
式（6）和式（5）其实是一样的，只是变成了矩阵的形式。
具体的算法
根据 $M_R = S A^{-1}$，要求 $M_R$ 我们只需算出 $S$ 和 $A$即可。所以有了下面的算法：
- 随机选3个向量，这里选择 $n_0 = [0,0,1], n_1 = [0,1,0], n_2 = [1,0,0]$
- 代入 $P(\omega_i)$求得 $A$，并得到 $A^{-1}$
- 利用旋转矩阵，求得 $Rn_k$，并带入 $P(\omega_i)$求得 $S$
- $M_R = S A^{-1}$
- 给定空间中任意一渲染点的坐标 $p$ 的在未旋转光源下的系数 $c = ({c_1^{-1}}^{},{c_1^{0}}^{},{c_1^{1}}^{})^T $, $c^{\prime} = {M_R}^T c$。
更具体的例子可以参考[1][1]文章尾部的示例一节。
其他
关于这部分，有几个问题我也没完全搞懂。
乘以 $M_R$还是 ${M_R}^T$？[1][1]和作业2的任务书里面都是乘以 $M_R$，但是我上面的推导的结果是${M_R}^T$，我实现的时候对比了一下，乘以${M_R}^T$的结果才是对的，乘以${M_R}$的结果会使得渲染的结果与模型的旋转方向相反。
不同轴，如果使用同一个RotationMatrix进行模型的旋转和球谐系数的计算，会使得它们在绕不同轴旋转。。。这我暂时不能理解。
